제 n 계차수열의 x번째 항들로 수열의 일반항 구하기

수열 $a_n$의 x 계차수열을 $a^x_n$라고 하자.
그러면 수열 $a_n$의 x 계차수열들을 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 $a_{n+1}=a_{n}+a_{n}^{1}$라는 사실을 확인할 수 있고,
같은 원리로 $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-1}^{1}$, $a_{n}^{1}=a_{n-1}^{1}+a_{n-1}^{2}$이므로

$a_{n+1}=a_{n}+a_{n}^{1}=a_{n-1}+2a_{n-1}^{1}+a_{n-1}^{2}$이다.
즉, $a_{x}^{y}=a_{x-1}^{y}+a_{x-1}^{y+1}$ 이므로 이를 반복하면
$a_{n+1}$

$a_{n}+a_{n}^{1}$

$a_{n-1}+2a_{n-1}^{1}+a_{n-1}^{2}$
$a_{n-2}+3a_{n-2}^{1}+3a_{n-2}^{2}+a_{n-2}^{3}$
.
.
.

이항계수의 형태로 전개가 된다.

Proof with Mathematical Induction(수학적 귀납법을 통한 증명)

수학적 귀납법으로 $a_{n+1}=_{n}\mathrm{C}_{0}\,a_{1}+_{n}\mathrm{C}_{1}\,a_{1}^{1}+\cdots+_{n}\mathrm{C}_{n-1}\,a_{1}^{n-1}+_{n}\mathrm{C}_{n}\,a_{1}^{n}$이 성립함을 보이자.

n=1
: $a_2 = a_1\cdot_{1}\mathrm{C}_{0}+a_{1}^{1}\cdot_{1}\mathrm{C}_{1}$이므로 성립한다.
n=k
: $a_{k+1}=_{k}\mathrm{C}_{0}\,a_{1}+_{k}\mathrm{C}_{1}\,a_{1}^{1}+\cdots+_{k}\mathrm{C}_{k-1}\,a_{1}^{k-1}+_{k}\mathrm{C}_{k}\,a_{1}^{k}$ 이 성립한다 가정한다.
n=k+1
: $a_{k+2}=a_{k+1}+a_{k+1}^1$이고 수열 $a_{k+1}$과 $a_{k+1}^1$에 대해 각각 위의 가정을 사용하면,

$a_{k+2}$

=$_{k}\mathrm{C}_{0}\,a_{1}+_{k}\mathrm{C}_{1}\,a_{1}^{1}+\cdots+_{k}\mathrm{C}_{k-1}\,a_{1}^{k-1}+_{k}\mathrm{C}_{k}\,a_{1}^{k}$+

$_{k}\mathrm{C}_{0}\,a_{1}^{1}+_{k}\mathrm{C}_{1}\,a_{1}^{2}+_{k}\mathrm{C}_{2} a_{1}^{3}+\cdots+_{k}\mathrm{C}_{k-1}\,a_{1}^{k}+_{k}\mathrm{C}_{k}\,a_{1}^{k+1}$ 이 된다.

동류항끼리 계산해주면,

$a_{k+2}$

$=_{k}\mathrm{C}_{0}\,a_{1}+(_{k}\mathrm{C}_{0}+_{k}\mathrm{C}_{1})\,a_{1}^{1}+(_{k}\mathrm{C}_{0}+_{k}\mathrm{C}_{1})\,a_{1}^{2}+\cdots+(_{k}\mathrm{C}_{k}+_{k}\mathrm{C}_{k-1}) a_{1}^{k}+_{k}\mathrm{C}_{k}\,a_{1}^{k+1}$
$=_{k}\mathrm{C}_{0}\,a_{1}+_{k+1}\mathrm{C}_{1}\,a_{1}^{1}+_{k+1}\mathrm{C}_{2} a_{1}^{2}+_{k+1}\mathrm{C}_{3}\,a_{1}^{3}+\cdots+_{k+1}\mathrm{C}_{k}\,a_{1}^{k}+_{k+1}\mathrm{C}_{k+1}\,a_{1}^{k+1}$

따라서 $a_{n+1}=_{n}\mathrm{C}_{0}\,a_{1}+_{n}\mathrm{C}_{1}\,a_{1}^{1}+\cdots+_{n}\mathrm{C}_{n-1}\,a_{1}^{n-1}+_{n}\mathrm{C}_{n}\,a_{1}^{n}$라는 등식은 성립한다!

이를 통해 알 수 있는 사실

임의의 수열의 제 n계차수열의 x번째 항들을 알면 그 수열의 일반항을 구할 수 있다.

예시

제 4계차수열부터는 모든 계차수열들이 0이 된다.

1. 첫 번째 항들을 알 때

$a_{n+1}$

$=_{n}\mathrm{C}_{0}\,a_{1}+_{n}\mathrm{C}_{1}\,a_{1}^{1}+_{n}\mathrm{C}_{2}\,a_{1}^{2}+\cdots+_{n}\mathrm{C}_{n-2}\,a_{1}^{n-2}+_{n}\mathrm{C}_{n-1}\,a_{1}^{n-1}+_{n}\mathrm{C}_{n}\,a_{1}^{n}$
$=_{n}\mathrm{C}_{0}\,1+_{n}\mathrm{C}_{1}\,7+_{n}\mathrm{C}_{2}\,12+_{n}\mathrm{C}_{3}\,6$
$=1+7n+6n(n+1)+n(n-1)(n-2)$

$=n^3+3n^2+3n+1$

$=(n+1)^3$

$\therefore a_{n}=n^3$

2. 두 번째 항들을 알 때

$a_{n+1}$

$=_{n-1}\mathrm{C}_{0}\,a_{2}+_{n-1}\mathrm{C}_{1}\,a_{2}^{1}+\cdots+_{n-1}\mathrm{C}_{n-2}\,a_{2}^{n-2}+_{n-1}\mathrm{C}_{n-1}\,a_{2}^{n-1}$
$=_{n-1}\mathrm{C}_{0}\,8+_{n-1}\mathrm{C}_{1}\,19+_{n-1}\mathrm{C}_{2}\,18+_{n-1}\mathrm{C}_{3}\,6$
$=8+19(n-1)+9(n-1)(n-2)+(n-1)(n-2)(n-3)$
$=8+19n-19+9n^2-27n+18+n^3-6n^2+11n-6$
$=n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3$
$\therefore a_{n}=n^3$