기존에 없던 헤론의 공식 증명

1. 넓이의 공식은 2차식의 형태로 나와야한다. 이 다항식을 S로 놓자.

 

2. 삼각형의 넓이가 0인 경우의 수는 크게 다음과 같이 2가지다.

  a. 세 변의 길이가 모두 0인 경우: a+b+c=0

  b. 삼각형의 높이가 없는 경우: a+b=c or a+c=b or b+c=a

따라서 이 다항식은 (a+b+c) , (a+b-c) , (a-b+c) , (-a+b+c) 를 인수로 갖는다.

 

3. 1, 2번에 의해 \(S=A\cdot\sqrt{(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c)}\)라는 식을

세울 수 있다. 이때 A는 임의의 계수이다.

 

4. 임의의 삼각형의 넓이와 세 변의 길이를 3번에 대입한다.

계수비교를 통해 A를 구하면 A가 \(\frac{1}{4}\)임을 알 수 있다.

 

5. \(\frac{a+b+c}{2}\)를 p로 치환한 후 식을 정리한다.